значения слова вдогон в толковых словарях русского языка:
“
вдогон - вслед за тем, кто удалился, ушел; догоняя следом Пример: Он побежал, я пустился в. *** 2. - вслед за кем-чем-нибудь Пример: Пуститься в. беглецу. В. тебе послал телеграмму.
вдогон . 1. нареч. Вслед за тем, кто удалился, ушел; догоняя следом. Он побежал, я пустился в. 2. кому-чему, предлог с дат. п. Вслед за кем-чем-н. Пуститься в. беглецу. В. тебе послал телеграмму.* Вдогон за кем-чем, предлог с те. п. - за кем-чем.
С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова. Толковый словарь русского языка.